Математические софизмы презентация. Софизмы

СодержаниеВведение
Древние софизмы
Числовые софизмы
Геометрические софизмы
Выводы

Что такое софизм?

Софизм (от греческого sophismaуловка, выдумка, головоломка)- логически
неправильное рассуждение, выдаваемое
за правильное.
Математический софизм- удивительное
утверждение, в доказательстве которого
кроются незаметные, а подчас и довольно
тонкие ошибки.
Эффектная демонстрация явно
неверного доказательства- в этом и
состоит смысл софизма.

Древние софизмы

Где появились софизмы?
В Древней Греции.
Для чего они создавались? С какой
целью?
Появление софизмов заставило
задуматься математиков о
логическом строении геометрии и
арифметики.
Кто придумал математические софизмы?
мудрец Зенон Элейский
в V веке до нашей эры.

Древние софизмы

Древний софизм «Рогатый»
Равен ли полный стакан пустому
Последние годы нашей жизни короче,
чем первые.

Древний софизм «Рогатый»

То, что ты не потерял, то и
имеешь. Ты не потерял рога,
следовательно, ты их имеешь.
Где ошибка?
ответ

Равен ли полный стакан пустому?

Оказывается, что да.
Пусть есть стакан, наполненный водой до
половины.
Тогда стакан, наполовину полный, равен стакану,
наполовину пустому.
Увеличим обе части равенства вдвое, получим, что
стакан полный равен стакану пустому.
=
Где ошибка?
ответ

Последние годы нашей жизни короче, чем первые

Известно изречение: в молодости идет время
медленнее, а в старости скорее. Это изречение
можно доказать математически.
Человек в течение тридцатого года жизни
проживает 1/30 часть своей жизни, в течение
семидесятого -1/70 часть жизни. Очевидно, что
1/30>1/70. Откуда ясно, что последние годы
жизни короче первых.
Не подвела ли математика?
ответ

Числовые софизмы

2=3
5=6
2·2=5
1=0, или уравнение x-a=0
не имеет решения

2=3

Рассмотрим очевидное равенство:
(2-5/2)2=(3-5/2)2
Тогда
(2-5/2)=(3-5/2)
Прибавив к обеим частям равенства по 5/2,
получим
2=3
Где ошибка?
ответы

5=6

Возьмем тождество:
35+10-45=42+12-54
Вынесем за скобки общий
множитель:
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
Разделим обе части на (7+2-9)
Получим 5=6
ответ

2·2=5

Напишем тождество:
4:4=5:5
Вынесем в каждой части общие
множители за скобки:
4·(1:1)=5·(1:1)
Так как 1:1=1, то 4=5, или
2·2=5
ответ

1=0, или уравнение х-а=0 не имеет корней

Дано уравнение x-a=0
Имеем:
(X-A)
0
=
(X-A)
(X-A)
1=0
Так как это равенство неверное, то
исходное уравнение не имеет
корней.
ответ

Геометрические софизмы

Пусть ΔАВСпроизвольный.
Проведем биссектрису
угла В и серединный
перпендикуляр к
отрезку АС.
Точку их пересечения
обозначим М.
Т.к. MD- высота и
медиана в ΔАМС, то он
равнобедренный
и АМ=МС
А
В
м
D
С

Геометрические софизмы

Опустим из точки М
перпендикуляры МЕ и MF на
стороны АВ и ВС
соответственно.
Из равенства треугольников
ВЕМ и ВFМ следует, что
МЕ=MF, ВЕ=BF.
В
E
F
м
А
D
С

Геометрические софизмы

Следовательно,
прямоугольные
треугольники АМЕ и
CMF равны:
у них равны
гипотенузы (АМ и МС)
и катеты (ME и MF)
значит AE=CF.
Итак, АЕ=СF, BE=BF
Следует, что AB=BC.
Возник парадокс: все
треугольники
равнобедренные
В
E
F
м
А
D
C

Геометрические софизмы

Ошибка в чертеже. Правильный
чертеж:
В
E
А
F
D
M
С

Выводы:

1.
2.
3.
познакомились с понятием
математические софизмы;
научились искать замаскированные
ошибки;
осознали:
важность правильных, корректных
записей и чертежей
недопустимость выполнения запрещенных
действий
важность учета применимости теорем,
формул и правил.

Ответы «Рогатый»

Ошибка здесь состоит в неправильном
переходе от общего правила к частному
случаю, который этим правилом не
предусмотрен.
Действительно, то, что ты не потерял,
подразумевает под словом «то» - все,
что ты имеешь, и ясно, что в него не
включены «рога».
Поэтому заключение «ты имеешь рога»
неправомерно.
назад

«Равен ли полный стакан пустому»

Приведенное рассуждение
неверно, так как в нем
применяется неправильное
действие: увеличение вдвое. В
данной ситуации его
применение бессмысленно.
назад

Ответ. «Последние годы нашей жизни короче, чем первые»

Действительно, 1/30>1/40>1/50.
Но неверно утверждение, что в
течение тридцатого года человек
проживает 1/30 часть жизни, он
проживает 1/30 только той части
жизни, которую он к этому моменту
прожил, но именно части, а не всей
жизни. Нельзя сравнивать между
собой части различных отрезков
времени.
назад

2=3

Если (2-5/2)2=(3-5/2)2, то
правильным следствием
должно быть
Ι2-5/2Ι=Ι3-5/2Ι, откуда следует
Ι-½Ι=Ι½Ι,
а вовсе не равенство 2-5/2=3-5/2
назад

5=6

Ошибка допущена при делении
верного равенства
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
на число (7+2-9), равное нулю.
Этого делать нельзя.
Любое равенство можно делить
только на число,
отличное от нуля!
назад

2·2=5

4:4=5:5
4/4=5/5
Вынесем общие множители:
4·1/4=5·1/5
В результате у нас не образуется общий
множитель, а в предложенном
доказательстве он был получен
вследствие некорректных действий:
4:4=4·(1:1)
назад

Уравнение х-а=0 не имеет корней, или 1=0

Так как х-а – корень
уравнения, то разделив
на (х-а) обе части,
мы потеряли этот корень
и поэтому получили неверное
равенство 1=0.
назад

Данилов Дмитрий, учащийся 8 класса

Исследовательская работа. Дается определение софизма, описывается историческая справка, разбираются различные софизмы: арифметические, алгебраические, геометрические и другие.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

МОУ «ООШ с.Мавринка Пугачевского района Саратовской области» Исследовательская работа на муниципальной научно-практической конференции «Шаг в будущее» МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ ВЫПОЛНИЛ: учащийся 8 класса Данилов Дмитрий РУКОВОДИТЕЛЬ: учитель математики Меренкова Людмила Александровна

Цель моей работы - доказать, что софизмы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показать практическое применение, их актуальность и в наше время. Задачи: Рассмотреть математические, алгебраические, геометрические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики. Попытаться найти ошибки в представленных софизмах. Показать софизмы из жизни и современной практики.

Введение. Мозги обязаны трудиться Софизмами принято называть утверждения, в доказательствах которых кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. В любой области математики - от простой арифметики до современных, более сложных областей – есть свои софизмы. В лучших из них рассуждения с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым невероятным заключениям. Ошибкам в геометрических доказательствах Евклид посвятил целую книгу, но до наших дней она не дошла, и нам остаётся лишь гадать о том, какую невосполнимую утрату понесла из-за этого элементарная математика. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Развитие критического мышления позволит не только успешно освоить точные науки, но и не оказаться жертвой мошенников в жизни. Например, при оформлении кредита в банке не оказаться пожизненным его должником. Думаю, многие хотя бы раз в жизни слышали подобные высказывания: «Все числа равны» или «два равно трём». Таких примеров может быть очень много, но что же это значит? Кто это придумал? Можно ли как-то объяснить эти высказывания или всё это – вымысел? На эти вопросы и на многие другие я хочу ответить в своей работе. Существуют различные софизмы: логические, терминологические, психологические, математические и т.д.

ПОНЯТИЕ «СОФИЗМ» Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм, в отличие от паралогизма, основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

ЭКСКУРС В ИСТОРИЮ Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. . Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. . Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ Арифметика - (греч. arithmetika , от arithmys - число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда. 1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В» Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В. Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А). (1) После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что А>В+А (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В. Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10. Где же ошибка???

2. «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его». Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напишем для них следующие очевидные неравенства: А>-В и В>-В. (1) Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что А>В. (2) Записав же два других столь же бесспорных неравенства В>-А и А>-А, (3) Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0, придем к неравенству А>В. (4) Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его. Где ошибка???

3. «2+2=5» Чтобы доказать, что 2+2=5 , можно всего лишь доказать, что 4=5 Начнём с равенства: 16-36=25-45 Прибавим к обеим частям 20,25 , получим: 16-36+20,25=25-45+20,25 Заметим, что в обеих частях равенства можно вывести полный квадрат: 4²-2*4*4,5+4,5²=5²-2*5*4,5+4,5² Получим:: (4-4,5)²=(5-4,5)² Извлекаем корень из обеих частей равенства, получим: 4-4,5=5-4,5 4=5 что и требовалось доказать.

4.«Дважды два равно пяти» Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a 2 =2db-b 2 . Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d 2 . Будем иметь: a 2 -2da+d 2 =b 2 -2bd+d 2 , или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b , т.е. 2*2=5 Где ошибка???

5. «Пропавший рубль» Три подруги зашли в кафе выпить по чашке кофе. Выпили. Официант принес им счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей и вышли. Однако хозяин кафе почему-то решил, что поданный на этот столик кофе стоит 25 рублей, и велел вернуть посетительницам 5 рублей. Официант взял деньги и побежал догонять подруг, но пока бежал, подумал, что им будет трудно делить на троих 5 рублей, и поэтому решил отдать им по 1 рублю, а два рубля оставить себе. Так и сделал. Что же получилось? Подруги заплатили по 9 рублей. 9*3=27 рублей, да два рубля осталось у официанта. А где еще 1 рубль?

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ Алгебра - один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой» Решим систему двух уравнений: х+2у=6, (1) у=4- х /2 (2) Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6 Где же ошибка???

2. «Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а/- c и -а/ c Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: a /- c= - a / c Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного. Где ошибка???

3.Любое число a равно меньшему числу b Начнём с равенства: a=b+c Умножим обе его части на a-b , получим: a²-ab = ab+ac-b²-bc Перенесём ac в левую часть: a²-ab-ac = ab-b²-bc и разложим на множители: a (a-b-c) =b (a-b-c) Разделив обе части равенства на a-b-c , найдём a=b что и требовалось доказать.

4.Уравнение x-a=0 не имеет корней Дано уравнение: x-a=0 Разделим всё на x-a , получим: 1=0 Это равенство неверное, следовательно исходное уравнение не имеет корней.

5.Вес слона равен весу комара. Пусть х – вес слона, а у – вес комара. Обозначим сумму этих весов 2п, получим х+у=2п. Из этого равенства можно получить еще два: х – 2п = -у и х = -у + 2п. Перемножим почленно эти два равенства: х 2 – 2пх + п 2 =у 2 – 2пу + п 2 или (х – п) 2 = (у – п) 2 . Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим: х – п = у – п или х=у, т.е. вес слона равен весу комара! В чем тут дело?

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. 1. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть, а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c , b = a + c . Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc . Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc , или b (b - a - c) = - c (b - a - c), откуда b = - c , но c = b - a , поэтому b = a - b , или a = 2b. Где ошибка???

2.Задача о треугольнике Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Откуда она берется?

Утверждение легко проверить вычислениями.

3. Исчезающий квадрат Большой квадрат составлен из четырёх одинаковых четырёхугольников и маленького квадрата. Если четырёхугольники развернуть, то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится.

Софизм Аристотеля Все окружности имеют одинаковую длину. Ведь при оборачивании двух окружностей с разными диаметрами ОА 1 и ОА 2 , каждая из них за один оборот спрямляется на одинаковый отрезок OO 1

Для выявления ошибки построен чертеж, показывающий, какую на самом деле траекторию проходят различные точки окружности, и становится очевидной ошибка доказательстве. Точки А 1 и А 2 во время движения колеса описывают кривые разной длины, их называют циклоидальными кривыми.

ПРОЧИЕ СОФИЗМЫ Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. «Полупустое и полуполное » «Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное». «Чётное и нечётное» «5 есть 2 + 3 («два и три»). Два - число чётное, три - нечётное, выходит, что пять - число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!» «Лекарства» «Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

«Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное» Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди. «Нет конца» Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

« Куча» Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка. «Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?» Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень. «Равен ли полный стакан пустому?» Да. Проведем рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

«Софизм Эватла » Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: "Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора". На это Эватл отвечал: "Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда". (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.) «Софизм Кратила » Диалектик Гераклит, провозгласив тезис "все течет", пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится.

Заключение. О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но, тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Развитая логика мышления может пригодиться в жизни. Софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой в них рассуждения кажутся безукоризненными! Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

Кошевая Виолетта

Софизм (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка) – умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Софизмы и парадоксы Работу выполнила: Кошевая Виолетта, 11 «Б» класс Учитель: Кончина Г.К. 2015 год

Классификация софизмов Логические Алгебраические софизмы Геометрические софизмы

« Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d , то ac = bd . Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам и 10 рублей = 1000 копеек Перемножая эти равенства почленно, получим 10 рублей = 100 000 копеек и разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек Таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Где ошибка?

проверим Разбор софизма: Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

«Дважды два - пять» Напишем тождество 4:4=5:5. Вынесем из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или 2*2=5 Так как 1:1=1 , то сократим и получим Где ошибка?

проверим Разбор софизма. Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1).

« Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c , b = a + c . Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc . Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc , или b (b - a - c) = - c (b - a - c), откуда b = - c , но c = b - a , поэтому b = a - b , или a = 2b. Где ошибка???

проверим В выражении b (b-a-c)= - c (b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

«Полупустое и полуполное» «Полупустое есть то же, что и полу полное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Разбор софизма. Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно. проверим

«Софизм учебы » песенка, сочиненная английскими студентами: The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study ? Перевод. Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться?

Парадокс (греч. "пара" - "против", " докса " - "мнение") близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). В широком смысле парадокс - высказывание, истинность которого неочевидна. Парадоксальными называются любые неожиданные противоречивые высказывания. Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадоксы

Ахиллес и черепаха движутся по прямой в одну и ту же сторону, черепаха находится на расстоянии 1000 метров впереди Ахиллеса. Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползёт черепаха. Ахиллес никогда не догонит черепаху. «Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе».

Ахиллес никогда не догонит черепаху, ведь пока он пробежит 1000 метров до того места, где находилась черепаха, та уже отползёт на 100 метров вперёд. Когда же Ахиллес пробежит и эти 100 метров, черепаха отползёт ещё немного дальше. Это будет продолжаться бесконечно: каждый раз, когда Ахиллес бежит до места, где была черепаха, она уже отползёт на некоторое расстояние. «Доказательство»

Критянин Эпименид сказал: "Все критяне лжецы". Эпименид сам критянин. Следовательно, он лжец. Но если Эпименид лгун, тогда его заявление, что все критяне лгуны - ложно. Значит, критяне не лгуны. Между тем Эпименид, как определено условием, критянин, следовательно, он не лгун, и поэтому его утверждение "все критяне лгуны" - истинно. «Парадокс лжеца»

В некой деревне, где жил единственный парикмахер-мужчина, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя? Как будто не может, поскольку это запрещено указом. И вместе с тем, если он не бреет себя, значит, попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить. «Парадокс парикмахера»

Два приятеля однажды вели такой разговор. - Видишь кучу песка? - спросил первый. - Я-то её вижу, - ответил второй, - но её нет на самом деле. - Почему? - удивился первый. - Очень просто, - ответил второй. - Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления ещё одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т. е. кучи песка нет. «Парадокс кучи»

ПАРАДОКС - это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Парадокс в более узком и более современном значении – это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы. Софизмы являются логически неправильными рассуждениями, выдаваемыми за правильные и доказательные. Софизм – это обман. Но обман тонкий и закамуфлированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Вывод:

Список литературы. А.Г. Мадера, Д.А. Мадера «Математические софизмы» Москва, «Просвещение», 2003г. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» Москва, «Просвещение», 1988г. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004г Литература

Слайд 2

Слайд 3

Данная работа открывает перед учащимися уникальную возможность проследить как математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Актуальность Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.

Слайд 4

Методы исследования Анкетирование Демонстрация презентаций Анализ и контроль полученных результатов

Слайд 5

Софизм(в переводе с греческого – « мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») – ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизмоснован на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. ? Что такое софизмы?

Слайд 6

Софистика – это искусство ведения спора Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми малыми ошибками. И. Ньютон Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. Б. Паскаль Правильно понятая ошибка-это путь к открытию. И.П.Павлов Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. Л. Эйлер

Слайд 7

Классификация ошибок Интеллектуальные Аффективные Волевые Логические Психологические Терминологические 2 · 2 + 5 =9 2 · (2 + 5) =14

Слайд 8

Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Логические Классификация софизмов по темам математического цикла Е

Слайд 9

Я представляю вашему вниманию классификацию софизмов по разделам математики, которая позволяет на эмоциональном уровне понять и закрепить то или иное математическое правило, что способствует более глубокому пониманию и осмыслению и показывает, что математика – это живая наука.

Слайд 10

Алгебра Упрощение выражений. Единицы измерений Разложение на множители Формулы сокращенного умножения Арифметический квадратный корень Решение неравенств Рациональные выражения Числовые последовательности Равносильные уравнения Логарифмы Тригонометрия Отрицательные и положительные числа 6класс 7класс 8класс 9класс 10класс 5класс

Слайд 11

Геометрия Внешний угол треугольника Параллельные и перпендикулярные прямые Сумма углов треугольника Пропорциональные отрезки Четырехугольники Окружность Решение треугольников Метод координат Треугольник 7класс 8класс 9класс

Слайд 12

Слайд 13

Средний балл Процент допустивших ошибки Процент выполнивших правильно

Слайд 14

Вывод Ценным является то, что в ходе такой работы обогащается культура мышления ученика, общая культура, развивается интеллект. Оценка деятельности ученика и самооценка сближаются на основе тезиса: не то ценно, что ошибок не совершил, а то, что нашел причину ошибки и устранил ее. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

Слайд 15

Ахманов А. С. «Логическое учение Аристотеля», Москва - 1960 2. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия» -2004 3. Брадис В. М., Минковский В. Л., Еленев Л. К. «Ошибки в математических рассуждениях», Москва - 1967 4. Брутян Г. «Паралогизм, софизм и парадокс. Вопросы философии» - 1959 Мадера А. Г., Мадера Д. А. «Математические софизмы», Москва,Просвещение-2003 6. Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. «Математическая шкатулка» Москва, Просвещение - 1988 Список литературы Благодарю за внимание

Посмотреть все слайды

Слайд 2

Цель проекта: Значение математических софизмов в развитии логического мышления школьников.

Задачи проекта: Познакомиться с понятием – софизм. Рассмотреть примеры математических софизмов. Провести исследование по школе среди учащихся 6-х, 7-х и 9-х классов. Проанализировать полученные результаты. Используемые методы: Изучение литературы Решение математических задач Сбор и обработка данных с помощью информационных технологий Создание презентации

Слайд 3

Что такое софизм

Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Виды математических софизмов: Арифметические софизмы Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Правильно понятая ошибка – это путь к открытию И.П. Павлов.

Слайд 4

Примеры алгебраических софизмов

Пример 1. 1 р. = 10 000 к. Возьмём верное равенство: 1 р. = 100 к. Возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 1 р. = 10 000 к. Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа. Пример 2 5=6 Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки). Получаем 5=6 Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.

Слайд 5

Примеры геометрических софизмов

Загадочное исчезновение У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга, так, как показано на рис. 1. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Вопрос: Куда исчезла 13-я линия? Ответ: 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины. «Новое доказательство» теоремы Пифагора Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом , противолежащим катету a. Имеем: a = c sin , b = c cos , откуда a2 = c2 sin2, b2 = c2 cos2. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: a2 + b2 = c2 (sin2 + cos2). Но sin2 + cos2 = 1, и поэтому a2 + b2 = c2. Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Ошибки здесь нет. Но формула sin2 + cos2 = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора. N M Рис. 1

Слайд 6

Проведение исследования

Тема исследования «Нахождение ошибки в доказательстве софизма» Метод исследования – эксперимент Участники исследования – учащиеся 6,7,9 классов школы Задача исследования: возможность нахождения ошибки в доказательстве софизма

Слайд 7

Нахождение ошибки в доказательстве софизмов

Алгебраические софизмы Пример 1.1 р. = 10 000 к. Пример 2.5 = 6 Пример 3.2 + 2 = 5 Пример 4.Любое число равно его половине Пример 5.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пример 6.Любое число = 0 Геометрические софизмы Пример 1.Загадочное исчезновение. Пример 2.Земля и апельсин. Пример 3.Два перпендикуляра. Пример 4.«Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Слайд 8

Основные ошибки в софизмах

Деление на 0; неправильные выводы из равенства дробей; неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения; нарушения правил действия с именованными величинами; путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств; проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла; неравносильный переход от одного неравенства к другому; выводы и вычисления по неверно построенным чертежам; ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.